数学の超難問「ABC予想」は証明されたか

京大・望月教授の論文掲載へ、理解できるのは世界で10人?

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「ABC予想」を証明した京大数理解析研究所の望月新一教授

 京都大は4月、同大数理解析研究所(数理研)の望月新一(もちづき・しんいち)教授が、長らく未解決だった数学の超難問「ABC予想」を証明したと発表した。数理研が編集する国際専門誌「PRIMS」に掲載する。予想は今後新たな「定理」として生まれ変わるが、海外の研究者からは批判も出ており、論戦が活発化しつつある。望月氏の論文は独創的な理論を駆使しており、世界でも内容を理解できているのは10人程度とされる。(共同通信=浅見英一)

 ▽ABC予想とは

 ABC予想は、整数の足し算と掛け算の関係にまつわる予想で、1985年に欧州の2人の数学者が提唱した。内容はこうだ。共通の約数(公約数)を持たない自然数A、Bと、これを足した数Cが登場する。A、B、Cを素因数分解(素数の掛け算に分解)し、出てきた素数を1回ずつ掛けた数Dとする。DとCを比較した場合、Cのほうが大きいことはほとんどないという。

 例えばAが11、Bが25だった場合、Cは36になる。Aは素数なので素因数分解しても11、Bは5の2乗、Cは2の2乗掛ける3の2乗となる。2乗は「2回登場した」と考えるので、これらの素因数全てを1回ずつ掛けると(11×5×2×3)とDが計算できて、その値は330だ。これはCよりも大きい。

 一方、Aが1、Bが8、Cが9のような場合はCの方が大きくなるが、こういうケースはそう多くはないというのがABC予想だ。

 ▽別の宇宙

 当たり前のことを言っているようにも思えるが、証明するのは難しい。望月氏は、新たに構築した「宇宙際タイヒミューラー理論」に関する4編、約600ページに及ぶ論文で、結論の一つとしてABC予想が証明できるとした。「宇宙際」とは、国と国の関係を示す「国際」のように、異なる数学の宇宙の間の関係を扱う理論という意味。タイヒミューラーは扱う対象は違うが似たような考え方をしたドイツの数学者の名前から取った。

 ABC予想は不等式で表される。不等号の片方が三つの数の足し算に関係した量、もう一方は同じ三つの数の掛け算にまつわる量だ。両者の大小関係について述べるために、足し算と掛け算の関係に立ち入らざるを得なくなっている。

 足し算と掛け算の関係を明らかにすることは、両者が絡み合った既存の数学の枠組みだけでは難しく、望月氏の理論では、足し算と掛け算の関係を変形させたもう一つの枠組み、いわば“別の宇宙”を用意した。

 それぞれの宇宙の中では問題なく計算が実行できるが、結果を比較しようとすると食い違いが出てしまう。それぞれの宇宙で「30センチの定規」とされているものの長さが違う、そんな状況だ。

 ただし異なる宇宙の間では、通信が可能だ。互いの姿を完全に知ることはできないが、相手がどの程度自分と違っているかという情報を得て、相手のイメージを描く。二つの異なる宇宙間でそれぞれ出した計算結果の大小関係を、この特殊な通信を通じて探る。ABC予想における不等式の証明に利用したのだ。

 ▽風変わり

 ABC予想の証明は、一見何の役にも立たないようにみえる。だが、この予想が「正しいとすれば」という前提で書かれた数学研究の論文は非常に多く、それらが無駄な仕事でなかったことが分かっただけでも多くの数学者には朗報だ。

 また、工学の世界では突拍子もない技術開発を目標に置きながら、実際は実現に向けて研究開発を進める中で、派生して生まれる技術を目当てにすることがある。例えば「宇宙まで上れるエレベーター」だ。関係者はこの超難題を解決して生まれる新技術に期待するが、本当に宇宙エレベーターができると思っている人はあまりいない。

 ABC予想も宇宙エレベーターに似た面がある。ある数学者は「本当に証明されるとは思っていなかった」と語り、数理研は「重要かつ困難な問題を解決した」と高く評価した。

 ABC予想は「フェルマーの最終定理」や「ポアンカレ予想」と並ぶ数学では有名な超難題だ。ポアンカレ予想を証明したロシアの数学者グレゴリー・ペレルマンは、数学のノーベル賞と言われるフィールズ賞を辞退したり、予想証明に懸けられた賞金を辞退したりと、風変わりな行動が話題となる人物だ。だが風変わりという点では望月氏も負けていない。

望月氏は報道機関の取材は一切受けず、写真撮影も拒否している(京大提供)

 5歳のころに渡米し、16歳で米国の名門プリンストン大に入学、19歳で同大数学科を卒業した俊英だ。27歳に京大助教授、32歳で教授に就任した。経歴からするとやや意外だが、周囲の人によると、望月氏は日本が大好きで、学会で海外に行くことはあまりないらしい。今回の論文を投稿したのも欧米の専門誌ではなく、自身が所属する数理研のPRIMSだった。日本の専門誌を選ぶというのが本人の強い意志だったという。

 穏やかな人柄だが報道機関に対する姿勢は厳しい。自身のホームページに掲載した写真には「報道目的での使用を禁ずる」とくぎを刺す。取材は一切受けず、写真撮影も拒否する徹底ぶりだ。

 それでも世捨て人というわけではなく、ブログではアイドルグループ「欅坂46」の歌詞と自らの研究と対比させたり、ドラマ「逃げるは恥だが役に立つ」の論評をつづったりしている。

 親交のある加藤文元(かとう・ふみはる)東工大教授によると大の焼き肉好き。「京大で同僚だったころは、いつも同じ焼き肉屋に行き、完全に同じものを注文していた」と明かした。

 ▽批判者

 ABC予想を証明したとする「宇宙際タイヒミューラー理論」は望月氏が新たに構築した理論だ。加藤氏は理論を構築する途上で議論に参加しており、解説本も執筆した。あまりに独創的なため、数学者であっても数週間から数カ月、みっちり望月氏から解説されなければ、正しくは理解できないだろうとしている。世界でも本当に理解しているのは10人程度という。数理研も慎重にならざるを得ず、理論は2012年に公表されたにもかかわらず、確認作業には7年半も要した。

 この理論に批判的だったドイツ人数学者のペーター・ショルツェ氏(18年にフィールズ賞受賞)も京大を訪れ、望月氏と理論について話し合った。だが結局「証明はできていない」と結論を下した。加藤氏は「(ショルツェ氏が)初歩的な誤解を犯したためだ。議論の時間が足りなかった」と話す。

 ショルツェ氏は数学界の若きスター。影響力は大きく、数学者の間では一時「あの証明はだめだった」という空気が流れた。ショルツェ氏は数理研による「予想証明」の発表後もネット上で「証明はできていない」と公言する。だが数は少ないが理論を理解している数学者らも反論を展開し、論戦が続いている。